やちさんのメールより



おまけは全部でN種類、そのうちm種類を集めるまでいくつ買う必要があるか？
ただし、N種類それぞれが当たる確率は均等であるとする。

1種類目が当たるまで買う個数は、1個買えば必ず何か当たるので
　　α(1)＝N/N×1＝1

2種類目が当たるまで買う個数は、1個買って当たる確率が(N-1)/N、それで外れた
場合、2個目を買って当たる確率は1/N×(N-1)/N、3個目買って当たる確率は
1/N×1/N×(N-1)/N…というわけで
　　α(2)＝(N-1)/N×1＋1/N×(N-1)/N×2＋1/N×1/N×(N-1)/N×3＋…
　　　　＝Σ[k=1][∞](1/N)^(k-1)×(N-1)/N×k

3種類目が当たるまで買う個数は、同様に
　　α(3)＝(N-2)/N×1＋2/N×(N-2)/N×2＋2/N×2/N×(N-2)/N×3＋…
　　　　＝Σ[k=1][∞](2/N)^(k-1)×(N-2)/N×k

一般に、(n+1)種類目が当たるまで買う個数は、
　　α(n+1)＝Σ[k=1][∞](n/N)^(k-1)×(N-n)/N×k
　　　　＝Σ[k=1][∞]((n/N)^(k-1)−(n/N)^k)×k
　　　　＝{1*(n/N)^0 - 1*(n/N)^1} + {2*(n/N)^1 - 2*(n/N)^2} + …
　　　　＝(n/N)^0 + (n/N)^1 + (n/N)^2 + …
　　α(n+1)は無限等比級数の和なので、公式より
　　　　＝1/{1 - (n/N)}
　　　　＝N / (N - n)

よって、N種類中m種類目が当たるまでに買わなければいけない個数は、
　　Ｓ(N,m)＝Σ[k=1][m]α(k)
　　　　＝Σ[k=0][m-1]α(k+1)
　　　　＝Σ[k=0][m-1]{N / (N - k)}

ここで、N=20種類のうちの50%を当てる場合、m=10となり、買わなければいけない個数は
　　Ｓ(20,10)＝20/20 + 20/19 + … + 20/11 ≒ 13.375 以上の最小の整数
　　よって、14個（解）
また、N=20種類のうちの80%を当てる場合、m=16となり、買わなければいけない個数は
　　Ｓ(20,16)＝20/20 + 20/19 + … + 20/5 ≒ 30.288 以上の最小の整数
　　よって、31個（解）

おまけ：
さらに、N=20種類のうちの100%を当てる場合、m=20となり、買わなければいけない個数は
　　Ｓ(20,16)＝20/20 + 20/19 + … + 20/1 ≒ 71.955 以上の最小の整数
　　よって、72個（解）
※上記の和項の20/1ってのは、要するに
「20個買えば残り１個は当たるだろう」
という意味でもあります(汗;





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おお！なるほど。こうすればいいのかー
勉強になりました。
ちょっとお題とは違ってるのですが、これで十分参考になるのでは
ないでしょうか。チョコエッグは１５０円なので、１万円分買えば全部
そろうだろうってことですね。　（＾＾；
最後の１個はオークションかお店でそれが２０００円以下で売ってたら
買えってことになりますか。（＾＾；；


03/03/04.04:32 　　　 かわさき <kawa@yumemi.com>

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